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1、已知，如图，AM为△ABC的角平分线。
2、求证AB:AC=MB:MC 由三角形面积公式，得S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAMS△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM∵AM是∠BAC的角平分线∴∠BAM=∠CAM∴sin∠BAM=sin∠CAM∴S△ABM:S△ACM=AB:AC根据共边定理可得S△ABM:S△ACM=MB:MC，则AB:AC=MB:MC 过C作CN∥AB。
3、交AM的延长线于N∵CN∥AB∴∠ABC=∠BCN又 ∠AMB=∠CMN∴△ABM∽△NCM∴AB:NC=BM:CM∵AM是∠BAC的角平分线∴∠BAN=∠CAN又 ∠BAN=∠ANC∴∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB:AC=MB:MC（过M作MN∥AB交AC于N也可证明） 作△ABC的外接圆，AM交圆于D由正弦定理，得AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM∵AM是∠BAC的角平分线∴∠BAM=∠CAM又∠AMB+∠AMC=180°∴sin∠BAM=sin∠CAMsin∠AMB=sin∠AMC∴AB:AC=MB:MC。
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